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二 次 不等式 の 解

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みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【二次不等式】です。 二次不等式の問題を解いていたら、答えが「すべての実数」だった…。それってどういうこと? たなかくん 答えが「すべての実数」なんて言われたら、びっくりしてしまいますよね。今回は、すべての実数とはどういうことだろうという疑問にお答えしていきます。 その前に、そもそも二次不等式とは?ということや、二次関数のグラフをつかった二次不等式の解き方も丁寧に解説しますので、安心してください。 二次不等式は、一見むずかしそうに見えますが、解き方のパターンさえ押さえてしまえば簡単に解くことができます。最終的には自分で二次不等式を解けるようになることを目標に、二次不等式とは?から始めていきましょう。 この記事を15分で読んでできること ・二次不等式とは何かがわかる ・二次不等式の解き方がわかる ・自分で実際に二次不等式を解ける そもそも二次不等式とは? 二次不等式とは、 $ax^{2}+bx+c\ge 0$ (①)のような形で表される式です。 不等式とは、不等号を使って、「2つの数・式が等しくないこと」「2つの数・式の大小」を表す式でしたね。 二次不等式も同様に、両辺の大小関係を示します。 「二次」とあるのは、$x$の次数が2であることを意味します。つまり、 式①において$a≠0$が条件となります。 二次不等式の解き方 二次不等式を解くポイントは、 $ax^{2}+bx+c\le 0$ のように 右辺を0にする ことです。 右辺を0にすることで、二次関数$ax^{2}+bx+c=0$のグラフをつかって、二次不等式を解くことができます。 例として、$x^{2}+x-2\le 0$を考えます。イメージをつかむために、グラフを見てみましょう。 $y=x^{2}+x-2$のグラフですね。問題は、$x^{2}+x-2$すなわち$y$が0以下となるときの$x$の範囲です。 グラフを見れば答えは一目瞭然。$-2\le x\le 0$と分かります。 答えが「すべての実数」ってどういうこと? 二次関数のグラフをつかえば、二次不等式はかんたんに解けることが分かりましたね。では、答えが「すべての実数」となるのは、どういうときでしょうか? 今回は、$x^{2}+2x+2\ge 0$を考えます。先ほど説明したとおり、まずは$y=x^{2}+2x+2$のグラフを書いてみましょう。 このグラフを見ると、$x^{2}+2x+2$はつねに0以上であることが分かりますね。つまり、 $x$がどのような値であっても$x^{2}+2x+2\ge 0$は成り立つことになります。 このときに、答えが「 すべての実数 」となります。 反対に、$x$がどのような値であっても条件を満たさない場合もあります。そのときは、「解なし」が答えとなります。 二次不等式を解く2つのポイント 二次関数$ax^{2}+bx+c=0$のグラフをつかって、二次不等式を解くとお伝えしました。 x軸とグラフの交点が分かれば、二次不等式を解くことができます。 では、x軸とグラフの交点はどうやって求めればよいでしょうか?

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\end{eqnarray}$$ このように3つの文字に関する連立方程式ができあがります。 >>>【連立方程式】3つの文字、式の問題を計算する方法は? あとは、この連立方程式を解くことで $$a=1, b=-1, c=3$$ となるので、二次関数の式は $$y=x^2-x+3$$ となります。 与えられた情報が3点の座標のみの場合、一般形の形を活用して連立方程式を解くことで二次関数の式を求めることができます。 んー、計算が多いから 正直… この問題めんどいっすねw まぁ、テストには出やすい問題だから面倒なんて言ってられないのですが(^^; (4)x軸との交点パターン (4)放物線\(y=2x^2\)を平行移動したもので、2点\((1, 0), (-3, 0)\)を通る。 問題文から\(x\)軸との交点が与えられているので $$y=a(x-α)(x-β)$$ 分解形の形を活用していきましょう。 さらに、押さえておきたいポイントがありますね。 『放物線\(y=2x^2\)を平行移動した』 とありますが、ここから今から求める二次関数の式は\(a=2\)であることが読み取れます。 平行移動した場合、\(x^2\)の係数は同じになるんでしたね! 以上より、分解形にそれぞれの情報を当てはめると $$y=2(x-1)(x+3)$$ $$=2x^2+4x-6$$ となります。 この問題は、一般形を使っても解くことはできますが分解形を活用した方が圧倒的に楽です! そのため、分解形の出番は少ないのですが覚えておいたほうがお得ですね(^^) (5)頂点が直線上にあるパターン (5)放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動したもので、点\((2, 3)\)を通り、その頂点は直線\(y=3x-1\)上にある。 ここからは、応用編になっていきます。 まず、問題分に頂点に関する情報が含まれているので $$y=a(x-p)^2+q$$ 標準形の形を活用していきます。 しかし、頂点の座標が具体的に分かっていないので、標準形の式に代入することができなくて困っちゃいますね(^^; ということで、頂点の座標を自分で作ってしまいます!! 『頂点は直線\(y=3x-1\)上にある』 ということから、頂点の\(x\)座標を\(p\)とすると 頂点の\(y\)座標は、\(p\)を\(y=3x-1\)に代入して\(y=3p-1\)と表すことができます。 よって、頂点の座標を $$(p, 3p-1)$$ と、自分で作ってやることができます。 更に 『放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動』 ということから、\(a=1\)であることも読み取れます。 これらの情報を、標準形の形に代入すると $$y=(x-p)^2+3p-1$$ と、式を作ることができます。 更に、この式は点\((2, 3)\)を通るので $$3=(2-p)^2+3p-1$$ という式が作れます。 あとは、この方程式を解くことで\(p\)の値を求めます。 $$3=4-4p+p^2+3p-1$$ $$p^2-p=0$$ $$p(p-1)=0$$ $$p=0, 1$$ よって、二次関数の式は $$y=x^2-1$$ $$y=x^2-2x+3$$ となります。 頂点が直線上にあるという問題では、頂点を自分で作ってしまいましょう!!

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2次不等式とは?1分でわかる意味、問題、解き方、因数分解と重解

04%になった。xの値をもとめよ。 (出典: (2)早稲田大高等部 (3) 東京電機大 高(4) 桐蔭学園) 5. 解答 練習問題・解答 練習問題01 Pが出発してから、Qと出会うまでにかかる時間を xとする PはQと出会うまでに km 進む。 この距離をQは3時間10分で進むので、Qの速さは km/h QはPより10分遅れて出発するので これを解くと よって、Qの速さは 6km/h ・・・答 Pは3. 6kmを 時間で進む Qは3. 6kmを 時間で進む よってそれぞれの速さは 以上より よって、1時間40分後・・・答 x円値下げすると、 売価は 円、売上個数は 個となるので、 定価 a円で、売上個数がn個とすると売上は 円 定価のx%引きで売ると、売上個数は2x%増えるので 売価は 円、売上個数は 個 よって、値下げ後の売上は 円 10. 5%の増収なので よって、15%引き、35%引き・・・答 400人より25%多いので、500人・・・答 20%の食塩水200gに含まれる食塩は 40 g 14. 4%食塩水200gに含まれる食塩は 28. 8 g ゆえに 20g・・・答 食塩水Aは最終的に8% 200gの食塩水になればよい 10%の食塩水 200gに含まれる食塩は 20g 8. 9%の食塩水 200gに含まれる食塩は 17. 8g x g取り出し代わりに同量の水をくわえると、食塩の量は さらにx g取り出しすと ここに8%の食塩水 xg を加えるので、食塩の量は 以上より、20 g・・・答 演習問題・解答 x分に出会うとすると、 Pの速さ m/分 Qの速さ m/分 よって、 Pの速さ:分速200 m Qの速さ:分速250m・・・答 定価x円で乗客数を y人とすると、売上は 円 a%値上げしたときの売上は 円 よって、収益は の増収 ① を代入し よって、4. 5%の増収・・・答 ② (0≦a≦50) よって、20%の値上げ・・・答 (3) ・・・答 (4) 食塩のみを追っていくと、 1回めの操作後 食塩水Aに残る食塩 食塩水Bに残る食塩 2回めの操作後 よって、80 g・・・答 ・関連記事 3. 1 2次方程式 の解き方 3. 1. 1 基本的な2次方程式の解き方(1)(基) 3. 2 2次方程式のの解き方(2)(展開・置き換え・二乗利用)(標) 3.

もう少し行きましょうか。 x=4を代入 x=5を代入 はい、もういいですよね。 パッと見た感じxが正であれば(どんな値を入れても) x 2 +2x+3も正になりそうな気がしませんか。 係数がすべて正ですしね。 では逆にマイナスの値を入れてみたらどうでしょうか? 「-1」を入れてみましょう。 「-2」を入れると 「-3」を入れると ・・・もういいですよね? これ以上、 xに何を入れても すなわち、 どんな実数の値をxに代入しても 答えは常に正になりそうですよね。 もちろん、こんな説明を答案に書いたら答えは合っていても大幅に減点を喰らいますが、まずはなんとなく雰囲気を掴んでくださいね。 「xに何を入れても大丈夫(常に正になり)そう」 ↑この感覚を掴むことが大事です。 なぜなら、「xは全ての実数」というのは 上記の一文をきちんと言い換えただけだからです。 つまり、 「xがすべての実数」とは「僕らが普段使う数字であればxにどんなものを入れてもオッケー!」という意味 なのです。 では、なぜ「xが全ての実数」において すなわち、どんなxの値であっても x 2 +2x+3>0 は成り立ってしまうのでしょうか? 二次不等式の問題は二次関数のグラフで丸わかり ここまでわかればもう一息です。 中山 この質問に答えるにはグラフを書けば 一発で解決してしまうんですね。 図の通り、これは y=ax 2 +bx+c のグラフです。 これだと抽象的すぎて何のことか分からないので さっきの x 2 +2x+3 を引き合いに出しましょう。 このグラフの判別式は−8でしたから y=0(x 2 +2x+3=0)のときの解はない ⇔y=0という直線(=x軸)とy=x 2 +2x+3という曲線の共有点はない ⇔y=x 2 +2x+3のグラフはx軸と交点を持たない というわけです。 この3つの文はすべて同じ意味なのがわかりますか? もう一度書きますよ。 y=0(x 2 +2x+3=0)のときの解はない(D=-8<0だから) ⇔y=0という直線(=x軸)とy=x 2 +2x+3という曲線の共有点はない ⇔y=x 2 +2x+3のグラフはx軸と交点を持たない 全て同じ意味です。 ということはグラフにするとどうなるかというと まさにこのグラフのように x軸から上に浮いたような状態 になっているわけですね。 ということは?

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Saturday, 25-Dec-21 00:59:14 UTC

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